Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4，a∈R．
（I）当a=3时，求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；
（II ）若存在x∈（0，+∞），使得f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer

（1）当a等于3时求出函数的导数根据导数求出函数的极值，再求出端点值，比较极值和端点值的大小求得最值
（2）求出函数的导数，讨论a的取值范围，观察是否满足存在x∈（0，+∞），使得f（x）＞0，最后得出a的取值范围，
【解析】
（Ⅰ）当a=3时，f（x）=-x3+3x2-4，f¢（x）=-3x2+6x=-3x（x-2）．
当x变化时，f¢（x）、f（x）在区间的变化如下表：

x -1 （-1，0） （0，1） 1
f¢（x） - +
f（x） ↘ 极小值-4 ↗ -2

所以f（x）在区间上的最大值为f（-1）=0，最小值为f（0）=-4．（5分）
（Ⅱ）f¢（x）=-3x2+2ax=-3x（x-）．
若a≤0，则当x∈（0，+∞）时，f¢（x）＜0，此时f（x）单调递减，而f（x）＜f（0）=-4，不存在使题设成立的x．
若a＞0，则当x∈（0，）时，f¢（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f¢（x）＜0，此时f（x）单调递减．f（x）在（0，+∞）的最大值为f（）=-4．所以题设的x存在当且仅当
-4＞0，解得a＞3．
综上，使题设成立的a的取值范围是（3，+∞）．