Question

在1，2，3，4，5的所有排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅中，
（1）求满足a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅的概率；
（2）记ξ为某一排列中满足a_i=i（i=1，2，3，4，5）的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的所有的排列种数有A55．满足条件的事件中，若a1，a3，a5取集合{1，2，3}中的元素，a2，a4取集合{4，5}中的元素，都符合要求，若a1，a3，a5取集合{1，2，4}中的元素，a2，a4取集合{3，5}中的元素，列举出结果，得到概率．
（2）ξ为某一排列中满足ai=i（i=1，2，3，4，5）的个数，由题意知ξ可以取0，1，2，3，5．结合变量对应的事件，写出变量的分布列，和期望．
【解析】
（1）由题意知，本题是一个古典概型，
试验发生包含的所有的排列种数有A55=120个．
满足a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列中，
若a1，a3，a5取集合{1，2，3}中的元素，a2，a4取集合{4，5}中的元素，都符合要求，有A33A22=12个．
若a1，a3，a5取集合{1，2，4}中的元素，a2，a4取集合{3，5}中的元素，
这时符合要求的排列只有1，3，2，5，4；2，3，1，5，4；4，5，1，3，2；4，5，2，3，1共4个．
故满足条件的概率．
（2）随机变量ξ可以取0，1，2，3，5．
，
，
，
，
．
∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望．