Question

已知函数在区间[m，n]上为增函数，且f（m）f（n）=-4．
（1）当a=3时，求m，n的值；
（2）当f（n）-f（m）最小时，
①求a的值；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x使得，证明：x₁＜x＜x₂．

Answer

（1）已知函数在区间[m，n]上为增函数，先用导数求得当a=3时的所有单调区间，则有[m，n]为函数f（x）单调区间的子集．
（2）①由，当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立求解．
②先分别表示出和，再由，得到，，再用作差法比较与的大小．
【解析】
．（2分）
（1）当a=3时，由，
得或x=2，
所以f（x）在上为增函数，在，（2，+∞）上为减函数，（4分）
由题意知，且．
因为，所以，
可知．（7分）
（2）①因为，
当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．（8分）
由，有-a=2（n-1）2≥0，得a≤0；（9分）
由，有a=2（m+1）2≥0，得a≥0；（10分）
故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．（11分）
②此时，，，
由知，，（12分）
欲证x1＜x＜x2，先比较与的大小．

=
=
=
因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，有x1（2-x1x2）+x2＞0，
于是（x1-x2）[x1（2-x1x2）+x2]＜0，即，（13分）
另一方面，，
因为0＜x12x2＜1，所以3+x12+x2-x12x2＞0，从而x12-x2＜0，即x1＜|x|（14分）
同理可证x＜x2，因此x1＜|x|＜x2．（15分）