Question

已知{a_n}是公差不为0的等差数列，{b_n} 是等比数列，其中a₁=2，b₁=1，a₂=b₂，2a₄=b₃，且存在常数α、β，使得a_n=log_αb_n+β对每一个正整数n都成立，则α^β=    ．

Answer

首先利用等差数列和等比数列的性质以及已知条件求出q=2+d，进而根据2a4=b3，求出d、和q的值，即可求出数列{an}和{bn}的通项公式，再根据an=logαbn+β得出2n=logα4n-1+β=（n-1）logα4+β，令n=1求出β=2，令n=2求出α=2，即可求出结果．
【解析】
a2=a1+d=2+d b2=1×q=q
∵a2=b2
∴q=2+d a4=a1+3d=2+3d b3=1×q2=q2
∵2a4=b3∴2×（2+3d）=q2=（2+d）2 即 d2-2d=0
∵公差不为0
∴d=2∴q=4∴
an=a1+（n-1）d=2+2×（n-1）=2n
bn=a1qn-1=4n-1∵an=logαbn+β
∴2n=logα4n-1+β=（n-1）logα4+β ①
∵①式对每一个正整数n都成立
∴n=1时，得β=2 n=2时，得logα4+2=4，得α=2
∴αβ=22=4