Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，前n项和为S_n，．
（Ⅰ）若数列{b_n}满足b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），试求数列{b_n}前n项和T_n；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=a_2n，试判断c_n是否为等比数列，并说明理由；
（Ⅲ）当时，问是否存在n∈N^*，使得（S_2n+1-10）c_2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由已知中bn=a2n+a2n+1（n≥1），结合．可得数列是一个等差数列，求出其通项公式后，进一步可得数列{bn}前n项和Tn；
（Ⅱ）当p=时，我们易得数列{cn}是一个等比数列，但是当时，数列{cn}不为等比数列，根据等比数列的定义，代入易验证结论．
（III）根据（I）、（II）的结论，我们可以根据（S2n+1-10）c2n=1，构造一个关于n的方程，利用导数法，我们可以求出方程的根，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）据题意得bn=a2n+a2n+1=a2n-a2n-2×2n=-4n，所以{bn}成等差数列，故Tn=-2n2-2n（4分）
（Ⅱ）当时，数列{cn}成等比数列；当时，数列{cn}不为等比数列
理由如下：因为cn+1=a2n+2=pa2n+1+2n=p（-a2n-4n）+2n=-pcn-4pn+2n，
所以，故当时，数列cn是首项为1，公比为等比数列；
当时，数列{cn}不成等比数列（9分）
（Ⅲ）当
时，，（10分）
因为S2n+1=a1+b1+b2+…+bn=-2n2-2n+2（n≥1）（12分）
∵（S2n+1-10）c2n=1，
∴4n2+4n+16=4n，设f（x）=4x-4x2-4x-16（x≥2），
则g（x）=f'（x）=4xln4-8x-4，
∴g'（x）=（ln4）24x-8＞0（x≥2），且g（2）=f'（2）＞0，
∴f（x）在[2，+∞）递增，且f（3）=0，f（1）≠0，
∴仅存在惟一的n=3使得（S2n+1-10）c2n=1成立（16分）