Question

A（选修4-1：几何证明选讲）
如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．
求证：DE²=DB•DA．
B（选修4-2：矩阵与变换）
求矩阵的特征值及对应的特征向量．
C（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．
D（选修4-5：不等式选讲）
已知m＞0，a，b∈R，求证：．

Answer

A、由已知中AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．由线割线定理我们易得DF2=DB•DA，故我们仅需要证明DE=DF即可得到结论．
B、构造特征多项式，求出特征值λ的值，再将特征值λ的值代入特征方程组，即可求出特征向量．
C、根据曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．我们易求出曲线C的标准方程及直线l的一般方程，利用直线一圆的位置关系，判断圆心到直线的距离与半径的关系，即可得到答案．
D、因为m＞0，所以1+m＞0，结合不等式性质，可将原不等式化为一个整式不等式，然后利用完成平方公式配方后，即可得到结论．
证明：A，连接OF，因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°，所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC，又因为CO⊥AB于O，
所以∠OCF+∠CEO=90°（5分）
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE，因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．
所以DE2=DB•DA（10分）
B，特征多项式-4λ+3（3分）
由f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=3（6分）将λ1=1代入特征方程组，得⇒x+y=0，可取为属于特征值λ1=1的一个特征向量（8分）
同理，当λ2=3时，由⇒x-y=0，所以可取为属于特征值λ2=3的一个特征向量．
综上所述，矩阵有两个特征值λ1=1，λ2=3；属于λ1=1的一个特征向量为，
属于λ2=3的一个特征向量为（10分）
C（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ（2分）
又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0（4分）
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y=-（x-2）（6分）
令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（1，0），
半径r=1，则|MC|=（8分）
所以|MN|≤|MC|+r=+1（10分）
D．因为m＞0，所以1+m＞0，所以要证，即证（a+mb）2≤（1+m）（a2+mb2），
即证m（a2-2ab+b2）≥0，即证（a-b）2≥0，
而（a-b）2≥0显然成立，故（10分）