Question

三棱锥P-ABC中，PA=AB=AC，∠BAC=120°，PA⊥平面ABC，点E、F分别为线段PC、BC的中点，
（1）判断PB与平面AEF的位置关系并说明理由；
（2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值．

Answer

（1）由已知中点E、F分别为线段PC、BC的中点，由三角形中位线定理，可得EF∥PB，进而由线面平行的判定定理，即可得到PB∥平面AEF．
（2）F作FH⊥AC于点H，由已知中PA⊥平面ABC，可得面PAC⊥平面ABC，连接PH，可得∠FPH即直线PF与平面PAC所成的角．解三角形即可得到直线PF与平面PAC所成角的正弦值
【解析】
（1）PB∥平面AEF，（2分）
∵点E、F分别为线段PC、BC的中点，
∴EF为△PBC的中位线，
∴EF∥PB，（4分）
又PB⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴PB∥平面AEF．（6分）
（2）过F作FH⊥AC于点H，由于PA⊥平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC，
从而FH⊥平面PAC，连接PH，可得∠FPH即直线PF与平面PAC所成的角．（10分）
不妨设PA=AB=AC=1，则在△ABC中，
计算可得，，
又Rt△PAF中，，
∴在Rt△PFH中，，
即直线PF与平面PAC所成角的正弦值为．（14分）