Question

设f（x）=x（x-1）（x+1），请问下列哪些选项是正确的？
（1）（2）f（x）=2有整数解    （3）f（x）=x²+1有实数解   （4）f（x）=x有不等于零的有理数解
（5）若f（a）=2，则f（-a）=2．

Answer

（1）把代入f（x）可得结论错误；（2）方程f（x）=2有整数解，即x3-x-2=0有整数解，构造函数g（x）=x3-x-2有整零点，利用反证法即可得到结论；（3）方程 f（x）=x2+1有实数解，即x3-x2-x-1=0为一整系数三次方程式，此方程式必有三个根；因为虚根必成共轭虚根出现，故此方程式必有一实根；（4）f（x）=x有不等于零的有理数解，即x（x-1）（x+1）=x，解此方程即可求得结论；（5）f（x）=x（x-1）（x+1）是奇函数，因此f（a）=2，则f（-a）=-2．
【解析】
（1）
（2）f（x）=2⇒x（x-1）（x+1）=2⇒x3-x-2=0
令g（x）=x3-x-2
若为g（x）=0的有理根，则a|1，b|2，故可为±1，±2．
但g（1）≠0，g（-1）≠0，g（2）≠0，g（-2）≠0，故g（x）=x3-x-2=0没有整数解，即f（x）=x3-x=2没有整数解．
（3）f（x）=x2+1⇒x3-x=x2+1⇒x3-x2-x-1=0为一整系数三
次方程式，此方程式必有三个根；因为虚根必成共轭虚根出
现，故此方程式必有一实根．
（4），
故f（x）=x没有不等于0的有理根．
（5）f（a）=2⇒a（a-1）（a+1）=2，则f（-a）=-a（-a-1）（-a+1）=-a（a+1）（a-1）=-2
故正确的是（3）