Question

在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（-2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为-．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有．由此可知动点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为，由方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my-45=0，由此入手可推导出直线MA的斜率k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），
依题意，有
．（3分）
化简并整理，得．
∴动点P的轨迹C的方程是．（4分）
（Ⅱ）依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为
，（5分）
由方程组消去x，并整理得
4（3m2+4）y2+12my-45=0（6分）
设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x，y），则
∴，（7分）
∴
∴，
∴，（9分）
①当m=0时，k=0；（10分）
②当m≠0时，
∵，∴0．
∴．∴且k≠0．（11分）
综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：-．（12分）