Question

函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（b-3）x+b的图象关于原点中心对称，则f（x）（ ）
A．在[-4，4]上为增函数
B．在[-4，4]上为减函数
C．[4，+∞）上为增函数，在（-∞，-4]上为减函数
D．在（-∞，-4]上为增函数，在[4，+∞）上也为增函数

Answer

由已知中函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（b-3）x+b的图象关于原点中心对称，则f（x）必为奇函数，由此我们可以得到函数解析式中所有偶次项系数均为0，进而求出函数的解析式，求出导函数后，分析导函数在各个区间上的符号，即可得到答案．
【解析】
由f（x）关于原点中心对称，即f（x）是奇函数．
∴a-1=0，b=0
∴a=1，b=0
∴f（x）=x3-144x
∴f′（x）=3x2-144=3（x2-48）=
令f′（x）＞0，则
令f′（x）＜0，则
∴f（x）在上为增函数，在上为减函数．