Question

规定A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且A_x=1，这是排列数A_n^m（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求A_-15³的值；
（2）排列数的两个性质：①A_n^m=nA_n-1^m-1，②A_n^m+mA_n^m-1=A_n+1^m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到A_x^m（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数A_x³的单调区间．

Answer

（1）根据Axm=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，写出A-153的表示式，再做出结果，做法同一般的排列数相同．
（2）首先写出推广以后的性质，Axm=xAx-1m-1，②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+），针对于这两个式子进行证明，根据排列数的意义，写出要证明的等式的左边和右边，整理后两边相等．
（3）要求函数Ax3的单调区间，写出排列数的表示形式，是一个三次函数，需要对这个函数求导，令导函数大于零，得到函数的增区间，令导函数小于零，得到函数的减区间．
【解析】
（1）A-153=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①Axm=xAx-1m-1，②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+）
事实上，在①中，当m=1时，左边=Ax1=x，右边=xAx-1=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xAx-1m-1，
因此，①Axm=xAx-1m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=Ax1+Ax=x+1=Ax+11=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=Ax+1m=右边，
因此②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+）成立．
（3）先求导数，得（Ax3）/=3x2-6x+2．
令3x2-6x+2＞0，解得x＜或x＞．
因此，当时，函数为增函数，
当时，函数也为增函数．
令3x2-6x+2＜0，解得＜x＜．
因此，当时，函数为减函数．
∴函数Ax3的增区间为，
函数Ax3的减区间为