Question

在xOy平面上有一系列的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）…对于正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴相切，且⊙P_n与⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，且x_n+1＜x_n．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设⊙P_n的面积为S_n，，求证：．

Answer

（1）由圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切可知Rn=Yn，R（n+1）=Y（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和进而得到
=Yn+Y（n+1），整理得，=2，原式得证．
（2）由（1）可知=2n-1，进而求得xn的通项公式，代入⊙Pn的面积即可求得的表达式为Sn=（）4，要证＜，只需证明（x1）2+（x2）2+…（xn）2＜即可．根据1+（）2+（）2+…（）2=1+（）2+（）2+（）2+…（）2，且1+（）2+（）2+（）2+…（）2＜2，进而可得1+（）2+（）2+…（）＜，进而得Tn=＜
（1）证明：∵圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切，
所以，Rn=Yn，R（n+1）=Y（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和，即
=Yn+Y（n+1）
整理就可以得到，=2
故数列是等差数列
（2）S1=π（x1）4S2=π（x2）4…Sn=π（xn）4
约去证明（x1）2+（x2）2+…（xn）2＜即可
由（1）知（x1）2+（x2）2+…（xn）2
=1+（）2+（）2+…（）2
因为1+（）2+（）2+（）2+…（）2
=[1+（）2+（）2+…（）2]+[1+（）2+（）2+（）2+…（）2]
即1+（）2+（）2+…（）2=1+（）2+（）2+（）2+…（）2
又因为 1+[（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2]+（）2+…
＜1+[（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+8（）2+…
=1+++…=2
即就是1+（）2+（）2+（）2+…（）2＜2
所以 1+（）2+（）2+…（）＜×2=
即1+（）2+（）2+…（）＜
所以＜
即