Question

如图，设抛物线方程为x²=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，．求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x²=2py（p＞0）上，其中，点C满足（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据题意先设出A，B和M的坐标，对抛物线方程求导，进而表示出AM，BM的斜率，则直线AM和BM的直线方程可得，联立后整理求得2x=x1+x2．推断出A，M，B三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，x=2代入抛物线方程整理推断出x1，x2是方程x2-4x-4p2=0的两根，利用韦达定理求得x1+x2的值，表示出直线AB的方程，利用弦长公式求得|AB|，进而求得p，则抛物线的方程可得．
（Ⅲ）设出D点的坐标，进而表示出C的坐标，则CD的中点的坐标可得，代入直线AB的方程，把D点坐标代入抛物线的方程，求得x3，然后讨论x=0和x≠0时，两种情况，分析出答案．
【解析】
（Ⅰ）证明：由题意设．
由x2=2py得，得，
所以，．
因此直线MA的方程为，
直线MB的方程为．
所以，①．②
由①、②得，
因此，即2x=x1+x2．
所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知，当x=2时，
将其代入①、②并整理得：x12-4x1-4p2=0，x22-4x2-4p2=0，
所以x1，x2是方程x2-4x-4p2=0的两根，
因此x1+x2=4，x1x2=-4p2，
又，
所以．
由弦长公式得．
又，
所以p=1或p=2，
因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y．
（Ⅲ）【解析】
设D（x3，y3），由题意得C（x1+x2，y1+y2），
则CD的中点坐标为，
设直线AB的方程为，
由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，
代入得．
若D（x3，y3）在抛物线上，则x32=2py3=2xx3，
因此x3=0或x3=2x．
即D（0，0）或．
（1）当x=0时，则x1+x2=2x=0，此时，点M（0，-2p）适合题意．
（2）当x≠0，对于D（0，0），此时，=，
又，AB⊥CD，
所以，
即x12+x22=-4p2，矛盾．
对于，因为，此时直线CD平行于y轴，
又，
所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，
所以x≠0时，不存在符合题意的M点．
综上所述，仅存在一点M（0，-2p）适合题意．