Question

数列{a_n}满足a1=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^×）
（Ⅰ）设C_n=log₅（a_n+3），求证{C_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设，数列{b_n}的前n项的和为T_n，求证：．

Answer

（I）由已知可得，an+1+3=（an+3）2，利用构造法令Cn=log5（an+3），则可得，从而可证数列{cn}为等比数列
（II）由（I）可先求数列cn，代入cn=log5（an+3）可求an
（III）把（II）中的结果代入整理可得，，则代入Tn=b1+b2+…+bn相消可证
【解析】
（Ⅰ）由an+1=an2+6an+6得an+1+3=（an+3）2，
∴=2，即cn+1=2cn
∴{cn}是以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）又c1=log55=1，
∴cn=2n-1，即=2n-1，
∴an+3=
故an=-3
（Ⅲ）∵bn=-=-，∴Tn=-=--．
又0＜=．
∴-≤Tn＜-