Question

（理）已知函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）
（1）用定义证明f^-1（x）在定义域上的单调性；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值集合D；
（3）设函数H（x）=g（x）-f^-1（x），当x∈D时，求函数H（x）的值域．

Answer

（1）求出函数f（x）的反函数f-1（x）=log2（x+1）（x＞-1），利用函数的单调性的定义证明f-1（x）在（-1，+∞）上为单调增函数．
（2）f-1（x）≤g（x） 即：log2（x+1）≤log4（3x+1），即，解之得0≤x≤1．
（3）H（x）=g（x）-f-1（x）=，由0≤x≤1，得1≤3-≤2，
可得函数H（x）的值域．
【解析】
（1）函数f（x）的值域为（-1，+∞），由y=2x-1，得 x=log2（y+1），
所以f-1（x）=log2（x+1）（x＞-1），任取-1＜x1＜x2，
f-1（x1）-f-1（x2）=log2（x1+1）-log2（x2+1）=log2，
由-1＜x1＜x2得0＜x1+1＜x2+1，因此0＜＜1，得 log2＜0，
所以f-1（x1）＜f-1（x2），故f-1（x）在（-1，+∞）上为单调增函数．
（2）f-1（x）≤g（x） 即：log2（x+1）≤log4（3x+1），
解之得0≤x≤1，所以D=[0，1]．
（3）H（x）=g（x）-f-1（x）=log4（3x+1）-log2（x+1）=，
由0≤x≤1，得1≤3-≤2，所以0≤log2（3-）≤，因此函数H（x）的值域为[0，]．