Question

（文）已知函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）
（1）f^-1（x）；
（2）用定义证明f^-1（x）在定义域上的单调性；
（3）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围．

Answer

（1）从条件中函数式f（x）=2x-1中反解出x，再将x，y互换即得．
（2）由（1）求出反函数的解析式及定义域，在定义域内任取两个自变量-1＜x1＜x2，化简f-1（x1）-f-1（x2）的结果，把此结果和0作对比，依据单调性的定义做出判断．
（3）把解析式代入不等式，利用对数函数的单调性和定义域解此不等式．
【解析】
（1）函数f（x）的值域为（-1，+∞），
由y=2x-1得x=log2（y+1），
所以f-1（x）=log2（x+1）（x＞-1）（4分）
（2）证明：任取-1＜x1＜x2，
f-1（x1）-f-1（x2）=log2（x1+1）-log2（x2+1）=log2
由-1＜x1＜x2得0＜x1+1＜x2+1，因此
0＜＜1得log2＜0
所以f-1（x1）＜f-1（x2）
故f-1（x）在（-1，+∞）上为单凋增函数．（9分）
（3）f-1（x）≤g（x）即
log2（x+1）≤log4（3x+1）（11分）
解之得0≤x≤1，所以x的取值范围是[0，2]（13分）