设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点）...

设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（ manfen5.com 满分网

，0）的距离比点P到x轴的距离大 manfen5.com 满分网

．
（1）求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；
（2）若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点，且 manfen5.com 满分网

=0，点O到直线l的距离为 manfen5.com 满分网

，求直线l的方程．

（1）用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2x，表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线．（2）当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=，联立x=与y2=2x可求得A（），B（），不符合=0．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b（k≠0，b≠0），联立y=kx+b与y2=2x，化简得ky2-2y+2b=0，由此能够求出直线l的方程．【解析】（1）由定义法，知点P轨迹方程为y2=2x，表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线．（6分）（2）当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=，联立x=与y2=2x可求得A（），B（），不符合=0 （7分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b（k≠0，b≠0），联立y=kx+b与y2=2x，化简得ky2-2y+2b=0 （9分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2==0⇔x1x2+y1y2=0⇔+y1y2=0⇔y1y2+4=0⇔+4=0⇔b+2k=0 ①（11分）又O到直线l距离为得②（12分）联立①②解得k=1，b=-2或k=-1，b=2，所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2（13分）

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考点分析：

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（1）用定义证明f^-1（x）在定义域上的单调性；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值集合D；
（3）设函数H（x）=g（x）- manfen5.com 满分网

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试题属性

题型：解答题
难度：中等