Question

某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）
（1）请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．

Answer

（1）各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，利用相互独立事件的概率公式做出各个路段堵车的概率，得到选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
（2）由题意知路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件的概率公式，写出变量对应的概率，做出期望值．
【解析】
（1）记路段MN发生堵车事件为MN．
∵各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，
∴路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为
1-P（）=1-P（）•P（）•P（）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]=1-；（3分）
同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1-P（）=（小于）
路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1-P（）=（大于）  
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．
因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（）=
P（ξ=1）=P（AC•）+P（•CF•）+P（）
=
P（ξ=2）=P（AC•CF•）+P（AC••FB）+P（•CF•FB）
=
P（ξ=3）=P（AC•CF•FB）=，
∴Eξ=0×+1×
答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为．