Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求证点M为边BC的中点；
（Ⅱ）求C到平面AMC₁的距离；
（Ⅲ）求二面角M-AC₁-C的大小．

Answer

（Ⅰ）根据等腰直角三角形，可得AM⊥C1M且AM=C1M，根据三垂线定理可知AM⊥CM，而底面ABC为边长为a的正三角形，则即可证得点M为BC边的中点；
（Ⅱ）过点C作CH⊥MC1，根据线面垂直的判定定理可知AM⊥平面C1CM，CH⊥平面C1AM，则CH即为点C到平面AMC1的距离，根据等面积法可求出CH的长；
（Ⅲ）过点C作CI⊥AC1于I，连HI，根据三垂线定理可知HI⊥AC1，根据二面角的平面角的定义可知∠CIH是二面角M-AC1-C的平面角，在直角三角形ACC1中利用等面积法可求出CI，即可求出二面角M-AC1-C的大小．
【解析】
（Ⅰ）∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AM⊥C1M且AM=C1M
∵三棱柱ABC-A1B1C1，∴CC1⊥底面ABC
∴C1M在底面内射影为CM，AM⊥CM．
∵底面ABC为边长为a的正三角形，
∴点M为BC边的中点
（Ⅱ）过点C作CH⊥MC1，由（Ⅰ）知AM⊥C1M且AM⊥CM，
∴AM⊥平面C1CM∵CH在平面C1CM内，
∴CH⊥AM，
∴CH⊥平面C1AM
由（Ⅰ）知，
∴
∴
∴点C到平面AMC1的距离为底面边长为
（Ⅲ）过点C作CI⊥AC1于I，连HI，
∵CH⊥平面C1AM，
∴HI为CI在平面C1AM内的射影，
∴HI⊥AC1，∠CIH是二面角M-AC1-C的平面角，
在直角三角形ACC1中，

∴∠CIH=45°，
∴二面角M-AC1-C的大小为45°