Question

已知定义在R的函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=，
（1）求征，f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在[-3，6]上的最大值与最小值．

Answer

（1）首先令y=-x，求得f（x）+f（-x）=f（0），然后求出f（0）的值，进而得出f（x）=-f（-x），即可证明为奇函数；
（2）设x1＜x2，通过f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）来判断f（x2）与f（x1）的大小关系；
（3）先求出f（3）的值，由（2）可知函数为减函数，可知x=-3时，取得最大值，x=6时取得最小值．
【解析】
（1）证明：令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0），
当x=1，y=0时，则f（1）+f（0）=f（1）
∴f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=f（0）=0
即f（x）=-f（-x）
∴f（x）为奇函数
（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）
∴f（x2）-f（x1）=f（x2-x1），
∵x2-x1＞0，由题意得f（x2-x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在R是减函数；
（3）∵f（1）=
∴f（2）=-  f（3）=-2
∵f（x）在[-3，6]上是减函数，
∴f（x）max=f（-3）=-f（3）=2
f（x）min=f（6）=-4