Question

如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D全等，且所在平面所成的二面角为a，记两个矩形对角线的交点分别为Q，Q′，AB=a，AD=b．
（1）求证：QQ′∥平面ABB′；
（2）当，且时，求异面直线AC与DB′所成的角；
（3）当a＞b，且AC⊥DB'时，求二面角a的余弦值（用a，b表示）．

Answer

（1）连接BB′，由题意可得QQ′∥BB′，而BB'⊂平面ABB′，所以QQ′∥平面ABB′．
（2）分别写出两条直线所在的向量，，然后利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．
（3）根据题中条件得到pa=b2，再分别求出两个平面的法向量，然后利用向量间的有关运算切线两个法向量的夹角的余弦值，再转化为二面角的平面角的余弦值．
【解析】
（1）连接BB′，
∵Q，Q′分别是BD，B′D′的中点，
∴QQ′∥BB′，而BB'⊂平面ABB′，
∴QQ′∥平面ABB′；
（2）以A为原点，AB，AD分别为X轴，Z轴建立空间直角坐标系，如图：
由条件可设A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，0，b），D（0，0，b），又，
AB′=a，
∴，，，，
设异面直线AC与DB′所成角为θ，
则
∵b2=2a2，
∴
所以异面直线AC与DB'所成角为
（3）设B′（p，q，0），C′（p，q，b），
∵AB′=a，
∴p2+q2=a2，∴，
又有，并且AC⊥DB′，
∴，得pa=b2，
设平面AB′C′D的法向量为=（x，y，z），
∵，，，，
∴，
设平面ABCD的法向量为，则=（0，±1，0），
∴．