Question

如图，在椭圆C中，点F₁是左焦点，A（a，0），B（0，b）分别为右顶点和上顶点，点O为椭圆的中心．又点P在椭圆上，且满足条件：OP∥AB，点H是点P在x轴上的射影．
（1）求证：当a取定值时，点H必为定点；
（2）如果点H落在左顶点与左焦点之间，试求椭圆离心率的取值范围；
（3）如果以OP为直径的圆与直线AB相切，且凸四边形ABPH的面积等于，求椭圆的方程．

Answer

（1）由，OP∥AB，得，代入椭圆方程，得，由此能够证明当a取定值时，点H必为定点．
（2）由点H落在左顶点与左焦点之间，知只有，且，由此能求出椭圆离心率的取值范围．
（3）以OP为直径的圆与直线AB相切等价于点O到直线AB的距离等于．由条件设直线，点O到直线AB的距离，又，所以，再由，
能够得到所求椭圆方程．
【解析】
（1）由，OP∥AB，得，
代入椭圆方程，得，
∴或，
∵PH⊥x轴，∴或，
∵a为定值，∴H为定点；（4分）
（2）∵点H落在左顶点与左焦点之间，
∴只有，且，
可解得；（4分）
（3）以OP为直径的圆与直线AB相切等价于点O到直线AB的距离等于．
由条件设直线，
则点O到直线AB的距离，又，
∴得①
又由，
得ab=4．②由①②解得，，
所以所求椭圆方程为：．（6分）