Question

设数列{x_n}的所有项都是不等于1的正数，前n项和为S_n，已知点P_n（x_n，S_n）在直线y=kx+b上，（其中，常数k≠0，且k≠1），又y_n=log_0.5x_n．
（1）求证：数列{x_n}是等比数列；
（2）如果y_n=18-3n，求实数k，b的值；
（3）如果存在t，s∈N^*，s≠t，使得点（t，y_s）和（s，y_t）都在直线y=2x+1上，试判断，是否存在自然数M，当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由an+1=Sn+1-Sn着手考虑，把点Pn、Pn+1的坐标代入直线y=kx+b，然后两式相减得xn+1与xn的关系式，最后整理为等比数列的形式即可．
（2）由（1）知{xn}是等比数列，则根据条件消去yn得xn与n的关系式，此时与等比数列通项xn=x1qn-1相比较，易得x1与q，进而可求得k与b．
（3）由{xn}是等比数列且yn=log0.5xn可得数列{yn}为等差数列；由ys、yt作差得数列{yn}是d=-2的等差数列；所以当n＞M时，xn＞1恒成立问题应利用yn=log0.5xn转化为yn＜0恒成立的问题；再把数列{yn}的首项用s、t的关系式表示出来，则可表示出数列{yn}的通项；最后列不等式组，解出M，即证明问题．
【解析】
（1）∵点Pn（xn，Sn），Pn+1（xn+1，Sn+1）都在直线y=kx+b上，
∴Sn=kxn+b，Sn+1=kxn+1+b
两式相减得Sn+1-Sn=kxn+1-kxn，即xn+1=kxn+1-kxn，
∵常数k≠0，且k≠1，∴（非零常数）
∴数列xn是等比数列．
（2）由yn=log0.5xn，得，
∴，得．
又Pn在直线上，得Sn=kxn+b，
令n=1得．
（3）∵yn=log0.5xn∴当n＞M时，xn＞1恒成立等价于yn＜0恒成立．
又yn=log0.5xn=log0.5（x1•qn-1）=nlog0.5q+log0.5
∴数列{yn}为等差数列
∵存在t，s∈N*，使得（t，ys）和（s，yt）都在y=2x+1上，
∴ys=2t+1 ①，yt=2s+1 ②．
①-②得：ys-yt=2（t-s），
∵s≠t∴yn是公差d=-2＜0的等差数列
①+②得：ys+yt=2（t+s）+2，
又ys+yt=y1+（s-1）•（-2）+y1+（t-1）•（-2）=2y1-2（s+t）+4
由2y1-2（s+t）+4=2（t+s）+2，得y1=2（t+s）-1＞0，
即：数列{yn}是首项为正，公差为负的等差数列，
∴一定存在一个最小自然数M，使，即
解得．∵M∈N*，∴M=t+s．
即存在自然数M，其最小值为t+s，使得当n＞M时，xn＞1恒成立．