Question

已知点A（2，0），点M为曲线上任意一点，点P为AM的中点；点P的轨迹为C；
（1）求动点P的轨迹C的方程F（x，y）=0；
（2）将轨迹C的方程变形为函数y=f（x）；请写出此函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性、最值等（不证明），并画出大致图象．
（3）若直线与轨迹C有两个不同的公共点B，K，且点G的坐标为，求|BG|+|KG|的值．

Answer

（1）已知点P为AM的中点，设M（x1，y1），P（x，y），由中点坐标公式建立方程，用P点的坐标表示出M点的坐标，再代入书籍的解析式即可求出点P的轨迹为C；
（2）根据函数的解析式写出数的定义域、值域、单调区间、奇偶性、最值等，图象如图；
（3）设B（x1，y1），k（x2，y2），将直线与轨迹C联立求得有y1+y2=5，y1y2=5，再由抛物线的性质得到|BG|+|KG|===（y1+y2）2-4y1y2+即可求得|BG|+|KG|的值．
【解析】
（1）已知点P为AM的中点，设M（x1，y1），P（x，y）
则得
∵点M为曲线上任意一点

即，即
故轨迹C的方程是
（2）y=f（x）=，此函数的性质如下，图象如图；

（3）由直线l与轨迹C相交于B（x1，y1），k（x2，y2），得，消元得y2-5y+5=0，故有y1+y2=5，y1y2=5
轨迹C是抛物线（y≥0）的一部分，此抛物线的焦点坐标为（，0），准线方程为x=-
所以|BG|+|KG|===（y1+y2）2-4y1y2+=30