Question

已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x称为函数f（x）的不动点；若a₁∈D，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），则称{a_n} 为由函数f（x）导出的数列．
设函数g（x）=，h（x）=
（1）求函数g（x）的不动点x₁，x₂；
（2）设a₁=3，{a_n} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x₁，x₂（不妨设x₁＜x₂），数列求证是等比数列，并求；
（3）试探究由函数h（x）导出的数列{b_n}，（其中b₁=p）为周期数列的充要条件．
注：已知数列{b_n}，若存在正整数T，对一切n∈N^*都有b_n+T=b_n，则称数列{b_n} 为周期数列，T是它的一个周期．

Answer

（1）直接解方程=x，求出对应的自变量的值即可；
（2）直接把上面的结论代入并设，求出cn+1的表达式即可证明求证是等比数列；进而求出{an} 的通项公式，即可求；
（3）先利用h（x）==x，得方程有两个不相等的实数根x1，x2；再求出{}是等比数列，首项为，公比为；即可找到由函数h（x）导出的数列{bn}（其中b1=p）为周期数列的充要条件．
【解析】
（1）=x，即x2-x-2=0，得x1=-1，x2=2，
所以函数g（x）的不动点为x1=-1，x2=2．
（2）：a1=3，an+1=g（an）=，设cn=，
则cn+1====cn，c1==4．
所以数列{}是等比数列，公比为，首项为4．
=4•得an=．
===2．
（3）：h（x）==x，即cx2+（d-a）x-b=0．
因为△=（d-a）2+4ac＞0，所以该方程有两个不相等的实数根x1，x2．
b1=p，bn+1=h（bn）=，
==•，
则{}是等比数列，首项为，公比为．
因为=（）n-1，所以=（）n+T-1．
数列{bn}为周期数列的充要条件是（）n-1=（）n+T-1，即（）T=1．
故||=1，但x1≠x2，从而cx2+d=-cx1-d．x1+x2=-=-，
故d=-a．