Question

在数列a_n中，，其中n∈N^*．
（1）求证：数列b_n为等差数列；
（2）设，试问数列c_n中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．
（3）已知当n∈N^*且n≥6时，，其中m=1，2，…n，求满足等式的所有n的值．

Answer

（1）根据等差数列的性质，bn+1-bn为一个常数即可；
（2）设，试问数列cn中是否存在三项，它们可以构成等差数列，然后根据等差数列的性质，进行验证；
（3）已知当n∈N*且n≥6时，，其中m=1，2，…n，等式进行化简可化为3n+4n++（n+2）n=（n+3）n，然后进行放缩求解；
【解析】
（1）∵
∴数列bn为等差数列4；
（2）【解析】
假设数列cn中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第p，r，q（p＜r＜q）项，
由（1）得bn=n，
∴cn=2n，
∴2•2r=2p+2q，
∴2r+1-p=1+2q-p
又2r+1-p为偶数，1+2q-p为奇数．
故不存在这样的三项，满足条件．
（3）由（2）得等式
可化为3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）n
即
∴
∵当n≥6时，，
∴，，，
∴
∴当n≥6时，3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n
当n=1，2，3，4，5时，
经验算n=2，3时等号成立
∴满足等式的所有n=2，3；