Question

已知函数，设g（x）=（3a²-2）x，
（1）当时，求函数f（x）的极值；
（2）如果函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由f/（x）=0及函数f（x）的单调性，判断f（x）的极值点，进而求得相应地极值．
（2）首先把“函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点”等价变换为“函数F（x）=f（x）-g（x）= x3-ax2-3a2x+1的图象与x轴只有一个交点”；然后根据F/（x）=x2-2ax-3a2=（x-3a）（x+a）的正负性，分析 F（x）的单调性；结合F（x）的草图，可得关于a的不等式F（3a）•F（-a）＞0，进而解之即可．
【解析】
（1）当时，f/（x）=x2-x-2
令f/（x）=0，得x=2或x=-1．
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（2，+∞），单调递减区间为（-1，2）
所以f（-1）极大值=，f（2）极小值=，
（2）f（x）与g（x）的图象有且仅有一个公共点等价于方程f（x）-g（x）=0仅有一个实数解，
令F（x）=f（x）-g（x）=x3-ax2-3a2x+1，即F（x）=0仅有一个实数解，
又F/（x）=x2-2ax-3a2=（x-3a）（x+a），
要使F（x）=0仅有一个实数解，即函数F（x）的图象与x轴只有一个交点，其草图如下：

故F（3a）•F（-a）＞0，
即，所以，
即时，f（x）与g（x）的图象只有一个公共点．