Question

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）求证：FB²=FA•FD；
（3）若AB是△ABC外接圆的直径，且∠EAC=120°，BC=6，求AD的长．

Answer

（1）两线段在同一个三角形中，故可以用证两底角相等，通过等边对等角来证两边相等；
（2）由图形知，可以证明△FBA∽△FDB，由于角BFD是公共角，再证明角FAB与角FBD相等即可证出两三角形相似；
（3）由题设条件可求得三角形ABC与三角形ACD的内角，又此两三角形都是直角三角形，故可借助直角三角形中的相关知识求AD的长．
【解析】
（1）因为∠EAC=∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠BCF+∠ACF=∠ABC+∠BCF+∠ABF=∠BCF+∠FBC
又∠EAC=2∠FAB=2∠BCF
所以∠FCB=∠FBC，
所以FB=FC，（3分）
（2）因为在△FBA∽△FDB中，∠BFD是公共角，
由于同弦所对的圆周角相等，故∠FAB等于∠FCB，又由（1）∠FCB=∠FBC
故可得∠FBC=∠FAB
所以△FBA∽△FDB，所以，整理得FB2=FA•FD（6分）
（3）∠EAC=120°，所以∠BAC=60°
因为AB为直径，所以∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
又∠DAC=60°，∠ACD=90°，可得∠ADC=30°
在直角三角形ABC中，由于BC=6，所以AC=
在直角三角形ADC中，可得（10分）