Question

已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2，
（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-1时，求函数f（x）在[m，m+3]（ m＞0）上的最值；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞成立．

Answer

（I）根据对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，也就是a≤lnx+x+在x∈（0，+∞）恒成立，下面只要求出函数的最小值，使得a小于函数的最小值即可．
（II）要求函数的最值，不管遇到什么特殊的函数，一定要按照求最值的方法按部就班的来解，首先求导，令导函数等于0，得到可能是极值点，根据极值点和区间两个端点之间的关系，得到结果．
（III）要证不等式在一个区间上恒成立，把问题进行等价变形，由（Ⅱ）知a=-1时，f（x）=xlnx+x的最小值是，只要求函数最大值进行比较即可．
【解析】
（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即xlnx-ax≥-x2-2恒成立．
也就是a≤lnx+x+在x∈（0，+∞）恒成立．
令，
则F'，
在（0，1）上F'（x）＜0，在（1，+∞）上上F'（x）＞0，
因此，F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即Fmin（x）=F（1）=3，
所以a≤3．
（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=xlnx+x，f'（x）=lnx+2，
由f'（x）=0得．
①当时，
在上f'（x）＜0，
在上f'（x）＞0
因此，f（x）在处取得极小值，也是最小值.．
由于f（m）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0
因此，fmax（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]
②当，f'（x）≥0，
因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，
所以fmin（x）=f（m）=m（lnm+1），fmax（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]
（Ⅲ）证明：问题等价于证明，
由（Ⅱ）知a=-1时，f（x）=xlnx+x的最小值是，当且仅当时取得，
设，则G'，易知，
当且仅当x=1时取到，
但，从而可知对一切x∈（0，+∞），都有成立．