Question

已知f（x）是定义在（e，+∞）的可导函数，且对于任意的x都有xf'（x）＞f（x）＞0，给出下列不等式：①f（a）＞f（e）；②f（a）＜f（e）；③f（a）＞lna•f（e）；④f（a）＜lna•f（e）其中一定成立的是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer

先由xf'（x）＞f（x）＞0，得出f'（x）＞．从而确定f'（x）＞0，函数f（x）为单调递增函数．最后依据a＞e＞0，和0＜f（e）＜f（a），结合不等式的性质即可得出答案．
【解析】
因为xf'（x）＞f（x）＞0，，所以f'（x）＞
因为x为正，所以f'（x）＞0，函数f（x）为单调递增函数．
且a＞e＞0，
所以0＜f（e）＜f（a），故①正确，②错误；
又因为a＞e＞0，
所以af（a）＞ef（e）⇒f（a）＞f（e）
⇒f（a）＞lna•f（e），故③正确，④不正确；
故选A．