Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）D为椭圆C的右顶点，设A是椭圆上异于D的一动点，作AD的垂线交椭圆与点B，求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（1）由题设条件可知 解得 ，由此能够推导出椭圆C的标准方程．
（2）设l：y=kx+m，由方程组 消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，然后结合题设条件利用根的判别式和根与系数的关系求解．
【解析】
（1）由题意设椭圆的标准方程为，
a+c=3，a-c=1，a=2，c=1，b2=3，
∴．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+m，
由，得：（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，
△=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，3+4k2-m2＞0．．
∵AD⊥BD，kAD•kBD=-1，（或）
∴，y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，，7m2+16mk+4k2=0，
解得，且满足3+4k2-m2＞0
当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当时，，直线过定点．
综上可知，直线AB过定点，定点坐标为．