Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，且BC=2AB=2AD=2，侧面PAD为等边三角形，PB=PC=．
（1）求证：PC⊥平面PAB；（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

（1）利用勾股定理证明 PC⊥PA，PC⊥PB，再利用直线与平面垂直的判定定理 证明 PC⊥面PAB．
（2）在等腰梯形ABCD中，易知 S△ADC：S△ABC=1：2，利用 VP-ABCD=，且 VP-ABC=VC-PAB，求得VP-ABCD的值．
【解析】
（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=AD=1，BC=2，
∴∠ABC=60°，AC=，AC⊥AB．
在△PAC中，PA=1，AC=，PC=，∴PC⊥PA．
在△PBC中，∵PB=PC=，故 PB2+PC2=BC2，∴PC⊥PB．
又 PA∩PB=P，∴PC⊥面PAB．
（2）在等腰梯形ABCD中，易知 S△ADC：S△ABC=1：2，
∴VP-ABC=2VP-ADC，∴VP-ABCD=．
又 VP-ABC=VC-PAB=•AB•AP•PC==．
∴VP-ABCD===．