Question

数列{a_n} 中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ）求{a_n} 的通项公式；
（Ⅲ）证明数列是等差数列．

Answer

（Ⅰ）先利用递推关系式求出a1，a2，a3关于c的表达式，再结合a1，a2，a3成等比数列即可求c的值；
（Ⅱ）先利用递推关系式求出an-an-1=（n-1）c，再利用叠加法得；把（Ⅰ）的结论代入整理后即可求得{an} 的通项公式；
（Ⅲ）把前两问的结论相结合求出数列的表达式，再利用等差数列的定义证明即可．
【解析】
（Ⅰ）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，
所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0（舍）或c=2．
故c=2；（5分）
（II）当n≥2时，由于a2-a1=c，a3-a2=2c，an-an-1=（n-1）c，
所以．
又a1=2，c=2，故an=2+n（n-1）=n2-n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立，
所以an=n2-n+2（n=1，2，）；（5分）
（Ⅲ）；bn+1=n．bn+1-bn=1，
∴数列是等差数列．（5分）