Question

给定下列四个命题：
（1）给定空间中的直线l及平面α，“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的充分不必要条件；
（2）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；
（3）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；
（4）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB₁C₁C的中心，则AD与平面BB₁C₁C所成角的大小是60°．
上述命题中，真命题的序号是（ ）
A．（1）（2）
B．（2）（4）
C．（2）（3）（4）
D．（1）（2）（3）（4）

Answer

真假命题的判断，若为真必须给出充分的理由，而说明其为假命题，只需要列举反例即可．
【解析】
对于（1），由“直线l与平面α内无数条直线都垂直”不能确定“直线l与平面α垂直”，如当l⊂α时，直线l可与平面α内无数条相互平行的直线都垂直，但此时直线l不与平面α垂直；反过来，由“直线l与平面α垂直”可知“直线l与平面α内无数条直线都垂直”．综上所述，“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要不充分条件．故（1）不正确．
对于（2），当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但平面α内的射线m垂直于平面β时，根据线面垂直的判定定理，两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故（2）正确．
对于（3），α，β也可能平行或一般的相交（不一定垂直），故（3）不正确．
对于（4），如图是三棱柱ABC-A1B1C1，不妨设各棱长为1．取BC的中点E，连接AE，DE，∵CC1⊥底面ABC，∴侧面BB1C1C⊥底面ABC，又E为BC的中点，且△ABC为正三角形，∴AE⊥BC，由两平面垂直的性质定理知，AE⊥平面BB1C1C，∴∠ADE的大小就是AD与平面BB1C1C所成角的大小．容易计算∠ADE=60°．故（4）正确．

故选B．