Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2，PD=4．E是PD的中点．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）求平面ACE与平面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）在线段BC上是否存在点F，使得三棱锥F-ACE的体积恰为，若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据边的长度关系可知三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD，同理PA⊥AB，又AD∩AB=A，满足线面垂直的判断定理，则PA⊥平面ABCD，根据线面垂直得到面面垂直，再由面面垂直得到线线垂直，即CD⊥AE，因为E是PD的中点，三角形PAD是等腰直角三角形，从而AE⊥PD，又PD∩CD=D，满足线面垂直的判定定理可得结论．
（2）解法一：取AD的中点K，连接EK，过K作KT⊥AC，垂足为T，连接ET．易知∠ETK即为所求的平面ACE与平面ABCD所成二面角的平面角，在三角形ETK中求出此角的余弦值即可；解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，先求出平面AEC的一个法向量，而是平面ABCD的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求出所求；
（3）假设在线段BC上，存在点F（2，y，0），使得三棱锥F-ACE的体积恰为，然后求出点F（2，y，0）到平面AEC的距离为h，而h==解之即可．
【解析】
（1）因为PA2+AD2=42+42=32，PD2=（4）2=32，
所以三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD．
同理PA2+AB2=42+22=20，PB2=（2）2=20，
所以三角形PAB是直角三角形，所以PA⊥AB．
又AD∩AB=A，所以PA⊥平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD．
因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AE⊂平面PAD，
所以CD⊥AE．
因为E是PD的中点，三角形PAD是等腰直角三角形，
所以AE⊥PD．
又PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD．
（2）解法一：取AD的中点K，连接EK，过K作KT⊥AC，垂足为T，连接ET．

因为E是PD的中点，所以EK∥PA，EK=2，EK⊥平面ABCD，
所以EK⊥AC．
又EK∩TK=K，所以AC⊥平面EKT，AC⊥ET，
故∠ETK即为所求的平面ACE与平面ABCD所成二面角的平面角，
因为三角形KTA与三角形CDA相似，所以=，
又AC==2，所以TK===，
所以ET==．
故cos∠ETK==．
解法二：如图，以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（2，4，0），E（0，2，2），P（0，0，4），=（2，4，0），=（0，2，2），

设n=（x，y，z）是平面AEC的一个法向量，
则有，得，
令z=1得y=-1，x=2，即n=（2，-1，1），
由（1）可知=（0，0，4）是平面ABCD的一个法向量，
所以cos＜n，＞==．
结合图形易知，平面ACE与平面ABCD所成二面角的余弦值为．
（3）如图，假设在线段BC上，存在点F（2，y，0），使得三棱锥F-ACE的体积恰为，
由（2）知，ET=，
AC=2，
则S△ACE=AC•ET=×2×=2，
设F（2，y，0）到平面AEC的距离为h，则=×2×h，解得h=．
又=（2，y，0），n=（2，-1，1）为平面AEC的一个法向量，所以h===，
得|4-y|=2，所以y=2或y=6＞4（舍去），
所以点F的坐标为（2，2，0），即点F为BC的中点时三棱锥F-ACE的体积恰为．