Question

已知等差数列{log₄（a_n-1）}（n∈N^*），且a₁=5，a₃=65，函数f（x）=x²-4x+4，设数列{b_n}的前n项和为S_n=f（n），
（1）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）记数列c_n=（a_n-1）•b_n，且{c_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）设各项均不为零的数列{d_n}中，所有满足d_k•d_k+1＜0的整数k的个数称为这个数列的异号数，令d_n=（n∈N^*），试问数列{d_n}是否存在异号数，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由于已知等差数列{log4（an-1）}（n∈N*），且a1=5，a3=65，设等差数列{log4（an-1）}的公差为d，利用条件建立方程可以求得得an=4n+1，再有函数f（x）=x2-4x+4，设数列{bn}的前n项和为Sn=f（n），利用已知数列的前n项和求出通项即可；
（2）有（1）可得c1=4×1，当n≥2时，cn=4n×（2n-5），利用错位相减法即可求数列cn=（an-1）•bn，且{cn}的前n项和为Tn；
（3）由题意可得dn=，代入求的k=1，k=2时都满足dk•dk+1＜0，当n≥3时，数列{dn}单调递增，利用单调性即可解的．
【解析】
（1）设等差数列{log4（an-1）}的公差为d，
所以2log4（a2-1）=log4（a1-1）+log4（a3-1），
即2[log4（5-1）+d]=log4（5-1）+log4（65-1），
得d=1，所以log4（an-1）=1+（n-1）×1=n，得an=4n+1，
由Sn=f（n）=n2-4n+4=（n-2）2，
当n=1时，b1=S1=1，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=（n-2）2-（n-3）2=2n-5，验证n=1时不满足此式，所以bn=
（2）由（1）可得，当n=1时，c1=4×1，
当n≥2时，cn=4n×（2n-5），
所以Tn=4×1+42×（-1）+43×1+44×3++4n×（2n-5），①
4Tn=42+43×（-1）+44×1+45×3++4n×（2n-7）+4n+1×（2n-5），②
①减去②得
-3Tn=-28+43×2+44×2+45×2++4n×2-4n+1×（2n-5）=-28+-4n+1×（2n-5），
故Tn=-+．
（3）由题意可得dn=，
因为d1=-3＜0，d2=1+4=5＞0，d3=-3＜0，
所以k=1，k=2时都满足dk•dk+1＜0，
当n≥3时，dn+1-dn=-=＞0，
即当n≥3时，数列{dn}单调递增，
因为d4=-＜0，由dn=1-＞0，n∈N*可得n≥5，
可知k=4时满足dk•dk+1＜0，
综上可知数列{dn}中存在3个异号数．