Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F与P（2，-1）关于直线l：x-y-2=0对称，中心在坐标原点的椭圆经过两点M（1，），N（-，），且抛物线与椭圆交于两点A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．
（1）求出抛物线方程与椭圆的标准方程；
（2）若直线l′与抛物线相切于点A，试求直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）若（2）中直线l′与圆x²-2mx+y²+2y+m²-=0恒有公共点，试求m的取值范围．

Answer

（1）设椭圆的方程为mx2+ny2=1，因为椭圆经过两点M（1，），N（-，），所以可得
由①与②消去m可得n=，由此能求出抛物线方程与椭圆的标准方程．
（2）由得y2+y-2=0，解得y=1或y=-2（不合题意，舍去），当y=1时，得x=±2，因为xA＜xB，所以A（-2，1），对y=x2求导，得y′=x，所以直线l′的方程为x+y+1=0，由此能求出直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积．
（3）由x2-2mx+y2+2y+m2-=0得（x-m）2+（y+1）2=，其圆心坐标为（m，-1），半径r=，要使直线l′与圆x2-2mx+y2+2y+m2-=0恒有公共点，则需满足（m，-1）到直线l′：x+y+1=0的距离d≤，由此能求出m的取值范围．
【解析】
（1）设椭圆的方程为mx2+ny2=1，
因为椭圆经过两点M（1，），N（-，），
所以可得
由①与②消去m可得n=，③
将③代入①得m=，
故所求椭圆的标准方程为+=1．
抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，），依题意得直线FP与直线l：x-y-2=0互相垂直，所以直线FP的斜率为-1，则kFP==-1，解得p=2，所以x2=4y．
（2）由得y2+y-2=0，解得y=1或y=-2（不合题意，舍去），
当y=1时，得x=±2，因为xA＜xB，所以A（-2，1），对y=x2求导，得y′=x，所以y′|x=-2=-1，所以直线l′的方程为y-1=-1×（x+2），即x+y+1=0，令x=0得y=-1，令y=0得x=-1，所以直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积为S=×|-1|×|-1|=．
（3）由x2-2mx+y2+2y+m2-=0得（x-m）2+（y+1）2=，其圆心坐标为（m，-1），半径r=，
要使直线l′与圆x2-2mx+y2+2y+m2-=0恒有公共点，则需满足（m，-1）到直线l′：x+y+1=0的距离d≤，即d=≤，得-≤m≤，
即m的取值范围为[-，]．