Question

某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为．
（1）求选手甲可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer

（1）设选手甲任答一题，正确的概率为p，根据甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为，列出关于P的方程，得到甲答对题目的概率，选手甲能够进入决赛包括两种情况，这两种情况是互斥的，由互斥事件的概率公式计算得到答案．
（2）由题意知ξ可取3，4，5，结合变量对应的事件和独立重复试验的概率公式写出变量的概率，最后一个变量的概率可以用1减去其余变量的概率得到，写出分布列做出期望．
【解析】
（1）设选手甲任答一题，正确的概率为p，
依题意，，
甲选答3道题目后进入决赛的概率为，
甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为，，
∴选手甲可进入决赛的概率．
（2）由题意知ξ可取3，4，5，
依题意，
，
∴ξ的分布列为：

ξ 3 4 5
P

∴．