Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF．
（1）求证：A₁F⊥C₁E；
（2）当A₁、E、F、C₁共面时，求：
①D₁到直线C₁E的距离；
②面A₁DE与面C₁DF所成二面角的余弦值．

Answer

（1）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，我们易给出正方体中各个点的坐标，进而求出向量坐标，代入向量数量积公式，易得，即A1F⊥C1E；
（2）①在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，则△BC1D1与△EC1D1面积相待，故D1到直线C1E的距离h满足，代入即可得到答案；
②我们求出面A1DE与面C1DF的法向量，求出两个向量夹角的余弦的绝对值，即可得到答案．
【解析】
（1）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A1（6，0，6）、C1（0，6，6），设AE=m，则E（6，m，0），F（6-m，6，0），
从而、，
∵，
所以A1F⊥C1E（4分）．
（2）①当A1、E、F、C1共面时，
因为底面ABCD∥A1B1C1D1，
所以A1C1∥EF，
所以EF∥AC，
从而E、F分别是AB、BC的中点（7分），
设D1到直线C1E的距离为h，
在△C1D1E中，，
，
解得（7分）．
②由①得，E（6，3，0）、F（3，6，0），
设平面A1DE的一个法向量为，
依题意，
所以，
同理平面C1DF的一个法向量为，
由图知，面A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值