Question

设y=f（x）是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对∀x₁、x₂∈（a，b），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，则称y=f（x）是区间（a，b）上的平缓函数．
（1）试证明对∀k∈R3，f（x）=x²+kx+14都不是区间（-1，1）5上的平缓函数；
（2）若f（x）是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对∀x₁、x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer

（1）新定义函数类型的题目，解答时要先充分理解定义才能答题，对于（1）只需按照定义作差：|f（x1）-f（x2）|，然后寻求条件：|x1+x2+k|≤1，（2）的解答稍微复杂一些，此处除了用到放缩外，还有添项减项的技巧应用即对已知条件f（0）=f（2）的充分利用．
【解析】
（1）∀x1、x2∈（-1，1），|f（x1）-f（x2）|=|x1+x2+k|×|x1-x2|（1分）．
若k≥0，则当x1、时，x1+x2+k＞（12分），从而|f（x1）-f（x2）|＞|x1-x2|（3分）；
若k＜0，则当x1、时，x1+x2+k＜-1，|x1+x2+k|＞1（4分），
从而|f（x1）-f（x2）|＞|x1-x2|，所以对任意常数k，f（x）=x2+kx+1都不是区间（-1，1）上的平缓函数（5分）．
（2）若x1、x2∈[0，2]，①当|x1-x2|≤1时，|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|≤1（6分）；
②当|x1-x2|＞1时，不妨设0≤x1＜x2≤2，根据f（x）的周期性，f（0）=f（2）（7分），
|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（2）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（2）-f（x2）|
≤|x1|+|2-x2|=x1+2-x2=2-（x2-x1）＜1（11分），
所以对∀x1、x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤1（12分）．
对∀x1、x2∈R，根据f（x）的周期性（且T=2），存在p1、p2∈[0，2]，
使f（x1）=f（p1）、f（x2）=f（p2），从而|f（x1）-f（x2）|=|f（p1）-f（p2）|≤1（17分）．