Question

已知几何体ABCD-EFG中，ABCD是边长为2的正方形，ADEG与CDEF都是直角梯形，且∠EDA=∠EDC=90°，EF∥CD，EG∥AD，EF∥EG=
（1）求证：AC∥平面BGF；
（2）在AD上求一点M，使GM与平面BFG所成的角的正弦值为．

Answer

（1）以D点为坐标原点建立的空间坐标系，由已知中ABCD是边长为2的正方形，ADEG与CDEF都是直角梯形，且∠EDA=∠EDC=90°，EF∥CD，EG∥AD，EF∥EG=，分别求出几何体ABCD-EFG中，各顶点坐标，进而求出直线AC方向向量及平面BGF的法向量，然后判断这两个向量数量积是否为0，即可得到结论．
（2）设点M的坐标为（x，0，0），我们分别求出直线GM的方向向量与平面BFG法向量，根据已知GM与平面BFG所成的角的正弦值为．代入向量夹角公式，构造关于x的方程，解方程，即可确定M点人位置．
证明：（1）∵ED⊥DA，ED⊥DC，ED⊥面ABCD
以D点为坐标原点建立如图所示的空间坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
G（1，0，2），F（0，1，2）…（3分）
=（-2，2，0），=（-1，1，0）
∴=2，即AC∥GF
又∵AC⊄面BFG，GF⊂面BFG，AC∥平面BGF…（6分）
（2）设点M的坐标为（x，0，0）
则=（x-1，0，-2），=（-2，-1，2），=（-1，-2，2），
设平面BGF的法向量为，
则可求得=（1，1，）…（9分）
GM与平面BFG所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜，＞|==解得x=1，所以M是AD的中点…（12分）