Question

设函数f（x）=
（1）当a=1时，证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，求正数a的范围；
（3）在（1）的条件下，设数列{a_n} 满足：0＜an＜1，且a _n+1=f（an），求证0＜a _n+1＜a_n＜1．

Answer

（1）当a=1时，求出函数的导数，证明函数的导数在（0，+∞）上大于0恒成立，即可说明函数是增函数；
（2）y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，故其导数在（0，+∞）上恒大于0，由此不等式求正数a的范围；
（3）本题中的不等式与自然数有关，此类不等式一般采用数学归纳法证明，故有数学归纳法的做题步骤证明0＜a n+1＜an＜1．
【解析】
（1）当a=1时，函数f（x）=，g（x）=f′（x）=x-sinx＞0在（0，+∞）上恒成立，故函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）由f（x）=
h（x）=f′（x）=ax-sinx
若y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
则f′（x）=ax-sinx＞0恒成立…（5分）
当a≥1时，对任意x∈（0，+∞），
恒有ax≥x＞sinx，此时f′（x）=ax-sinx＞0
所以y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数
当0＜a＜1时，h′（x）=a-cosx
令导数h′（x）=0
得cosx=a在（0，）上存在x使得cosx=a
当x∈（0，x），h′（x）=a-cosx＜0，h（x）=f′（x）＜f′（0）=0
这与y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数即f′（x）=ax-sinx＞0
恒成立矛盾，所以a≥1
（3）由（1）当0＜x＜1，0=f（0）＜f（x）＜F（1）=-+cos1＜1
当0＜a1＜1，a2=f（a1）∈（0，1），假设0＜ak＜1，则ak+1=f（ak）∈（0，1），
又an-an+1=an-an2+1-cosan，
因为an-an2+1∈（1，），cos1＜cosan＜1所以
an-an+1=an-an2+1-cosan＞0，即an＞an+1，
所以0＜a n+1＜an＜1