Question

已知椭圆C：=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上总存在点P，使得点P在以F₁F₂为直径的圆上；
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）若AB是椭圆C的任意一条不垂直x轴的弦，M为弦AB的中点，且满足K_AB•K_OM=-（其中K_AB、K_OM分别表示直线AB、OM的斜率，O为坐标原点），求满足题意的椭圆C的方程．

Answer

（1） 利用点P在以F1F2为直径的圆上，以及∠F1PF2≤∠F1BF2，故只需满足 •≤0，由两个向量的数量积公式
求出m的范围，即得椭圆离心率的取值范围．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2 ），M （x，y），把A、B的坐标代入椭圆方程并相减得直线AB的斜率，据KAB•KOM=-，求出 m值，即得椭圆的方程．
【解析】
（1）设点P（x，y），∵F1 （-，0），F2 （，0），
设椭圆的上顶点为B（0，1），
∵点P在以F1F2为直径的圆上，∠F1PF2≤∠F1BF2，只需满足 •≤0，
（-，-1）•（，-1）=-（m-1）+1=2-m≤0，m≥2，
e=∈[，1）．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2 ），M （x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y．
 把A、B的坐标代入椭圆方程得  ，，
并相减得：=-（y1+y2）（y1-y2），
∴KAB ==，又 KOM=，
再由 KAB•KOM =-，m=4，此时，椭圆的方程为+y2=1．