Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-2n（n∈N^*）•
（I）设b_n=a_n+2，求数列{b_n}的通项公式；
（II）若数列{c_n}满足c_nlog₂b_n，求数列的前n项和T_n．

Answer

（I）、根据题中已知条件Sn=2an-2n（n∈N*），得出n≥2时，Sn-1=2an-1-2（n-1）此两式作差整理即可得到入bn所满足的关系，从而可求出数列{bn}的通项公式；
（II）根据题中的条件先求出数列{cn}的通项公式，然后求出的表达式，写出数列的前n项和Tn的表达式，然后利用差项相减法便可求出Tn的值．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn=2an-2n（n∈N*），
∴当n≥2时，Sn-1=2an-1-2（n-1）．
两式相减得an=2an-2an-1-2，即an=2an-1+2（n≥2）．…（3分）
又∵a1=2，可知an＞0，
∴当n≥2时，（常数），
∴{bn}是以b1=a1+2=4为首项，2为公比的等比数列，
∴数列{bn}的通项公式bn=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）∵cn=log2bn=log22n+1=n+1，
∴，…（8分）
则，…①
，…②
两式相减得，…（10分）
===．
∴．…（12分）