Question

在△ABC中，，
（1）求tanA的值
（2）求BC的长度和△ABC的面积．

Answer

（1）由同角三角函数间的基本关系得到sin2A+cos2A=1，与已知的等式联立即可求出sinA和cosA的值，然后再由已知的等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式化简后求出sin2A的值，根据其值小于0得到2A的范围即可求出A的范围，发现A为钝角，即sinA大于0，cosA小于0，得到满足题意的sinA和cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanA的值；
（2）由AC，AB及求出的cosA的值，利用余弦定理即可求出BC的长，然后由AC，AB及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
（1）联立得：，
解得：或，
由sinA+cosA=，
两边平方得：1+sin2A=，即sin2A=-，
∴180°＜2A＜360°，即90°＜A＜180°，
∴sinA＞0，cosA＜0，
∴，
∴tanA==×=-2-；
（2）由AC=2，AB=，
根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC•BC•cosA=22+2-4××=4+2=（1+）2，
∴BC=1+，
∴S△ABC=AC•AB•sinA=×2××=．