Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4．f（x）=a_n-1x³-3（3a_n-a_n+1）x+1在处取得极值．
（1）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）记，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2008的n的最小值；
（3）是否存在指数函数g（x），使得对于任意正整数n，都有成立，若存在，求出满足条件的一个指数函数g（x）：若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据题中已知条件先将x=代入f′（x）中即可求出（an+1-an）与（an-an-1）的关系，从而证明数列{an+1-an}是等比数列，进而求出数列an的通项公式；
（2）根据前面求得的an的通项公式即可求出bn的通项公式，然后求出其前n项和的表达式，即可求出使Sn＞2008的n的最小值为1005；
（3）存在，根据题意先求出的表达式，然后令g（x）=2x即可得出成立．
【解析】
（1）f'（x）=3an-1x2-3（3an-an+1）（n≥2）
依题意得：，∴2an-1-（3an-an+1）=0（2分）
∴（an+1-an）=2（an-an-1）（n≥2）
∵a1=2，a2=4，
∴a2-a1=2≠0，
an+1-an≠0，
故数列{an+1-an}是公比为2的等比数列（4分）
∴an+1-an=2n
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a2-a1）+a1

又a1=2满足上式，∴an=2n（n∈N*）（6分）
（2）由（1）知，
∴Sn=2n-（1+++…+）=2n-
=2n-2（1-）=2n-2+，
由Sn＞2008得：，
即，所以n的最小值为1005（10分）；
（3）=（11分）
令g（k）=2k，则有，
=+…+=（13分）
存在指数函数g（x）=2x，使得对于任意正整数n，都有（14分）