Question

若函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（2-x），且当x≠1时其导函数f′（x）满足（x-1）f′（x）＞0，若1＜a＜2，则（ ）
A．f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）
B．f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）
C．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
D．f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）

Answer

根据f（x）=f（2-x）得函数的对称轴为x=1．所以f（0）=f（2）．因为1＜a＜2所以0＜log2a＜1，2＜2a＜4．又因为导函数f′（x）满足（x-1）f′（x）＞0，所以当x＞1时f（x）为增函数，当x＜1时f（x）是减函数．进而利用函数的单调性比较函数值的大小即可．
【解析】
因为函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（2-x），
所以函数的对称轴为x=1．所以f（0）=f（2）．
因为1＜a＜2所以0＜log2a＜1，2＜2a＜4．
又因为导函数f′（x）满足（x-1）f′（x）＞0，
所以当x＞1时f（x）为增函数，当x＜1时f（x）是减函数．
所以f（0）＞f（log2a），f（2a）＞f（2）．
所以f（log2a）＜f（2）＜f（2a）．
故选A．