Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，，∠BAD=120°，E在棱SD上，且SE=3ED．
（I）求证：SD⊥平面AEC；
（II）求直线AD与平面SCD所成角的大小．

Answer

（1）由题意易知CA⊥AD，通过所给条件证明SD⊥AC即有线线垂直得到线面垂直．也可利用空间向量求直线与平面的夹角为90°．
（2）几何法求直线与平面的夹角重点是找垂线作出线面角，用空间向量求直线与平面的夹角的重点是以A为坐标原点AC、AD、SA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求法向量
【解析】
（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，由AD=1，CD=2，∠BAD=120°，
易知CA⊥AD，
又SA⊥平面ABCD
SD在平面ABCD上的射影为AD，∴SD⊥AC，
在直角三角形SAB中，易得，
在直角三角形SAD中，∠ADE=60°，SD=2，
又SE=3ED，∴，
可得=．
∴SD⊥AE，
又∵AC∩AE=A，∴SD⊥平面AEC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥平面AEC，所以平面AEC⊥平面SCD，
过A作AF⊥EC于F，则AF⊥平面SCD．
可得∠ADF为直线AD与平面SCD所成的角．
因为，，所以，
所以
在Rt△ADF中，，
直线AD与平面SCD所成角的大小为．
解法二：依题意易知CA⊥AD，SA⊥平面ACD．以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则易得，
（Ⅰ）由SE：ED=3有，
易得，从而SD⊥平面ACE
（Ⅱ）设平面SCD的法向量为n=（x，y，z）
则，令z=1，得
从而
所以AD与平面SCD所成角大小为．