Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，点P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB的中点T在直线OP上，且A、O、B三点不共线．
（I）求椭圆的方程及直线AB的斜率；
（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．

Answer

（I）设椭圆的方程为，则，由此能导出椭圆的方程．设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得（3+4k2）x2+8ktx+4t2-48=0，由根的判别式能够导出直线AB的斜率．
（II）设直线AB的方程为，即x+2y-2t=0，由得x2-tx+t2-12=0，由根的判别式和点到直线距离公式能够导出△PAB面积的最大值．
【解析】
（I）设椭圆的方程为，
则，得a2=16，b2=12．
所以椭圆的方程为．…（3分）
设直线AB的方程为y=kx+t（依题意可知直线的斜率存在），
设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，
得（3+4k2）x2+8ktx+4t2-48=0，由△＞0，得b2＜12+16k2，，设T（x，y），易知x≠0，
由OT与OP斜率相等可得，即，
所以椭圆的方程为，直线AB的斜率为．…（6分）
（II）设直线AB的方程为，即x+2y-2t=0，
由
得x2-tx+t2-12=0，△=t2-4（t2-12）＞0，-4＜t＜4．…（8分）.．
点P到直线AB的距离为．
于是△PAB的面积为…（10分）
设f（t）=（4-t）3（12+3t），f'（t）=-12（t-4）2（t+2），其中-4＜t＜4．
在区间（-2，4）内，f'（t）＜0，f（t）是减函数；在区间（-4，-2）内，f'（t）＞0，f（t）是增函数．
所以f（t）的最大值为f（-2）=64．于是S△PAB的最大值为18．…（12分）