Question

已知数列{a_n}满足，，，且a_n+1•a_n＜0．（n∈N^*）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若{b_n}=a_n+1²-a_n²，试问数列{b_n}中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？若存在，求出满足条件的等差数列，若不存在；说明理由．

Answer

（I）首先求出，然后讨论当n为偶数时，an＜0；当n为奇数时，an＞0，再由，得3（an+12-an2）=1-an+12，即4an+12-3an2=1，于是可以得出
4（an+12-1）=3（an2-1），即数列{an2-1}是以为首项，为公比的等比数列，最终求出{an}的通项公式．
（II）由（ I）知bn=an+12-an2=，假设数列{bn}中存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）成等差数列，然后证明2•3s•4t-s=3r•4t-r+3t是不是成立．
【解析】
（ I）由，an+1•an＜0知，
当n为偶数时，an＜0；当n为奇数时，an＞0；
由，得3（an+12-an2）=1-an+12，即4an+12-3an2=1，
所以4（an+12-1）=3（an2-1），
即数列{an2-1}是以为首项，为公比的等比数列
所以，，，
故
（ II）由（ I）知bn=an+12-an2=，
则对于任意的n∈N*，bn＞bn+1．
假设数列{bn}中存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）成等差数列，
则br＞bs＞bt，即只能有2bs=br+bt成立，
所以，，
所以，2•3s•4t-s=3r•4t-r+3t，
因为r＜s＜t，所以t-s＞0，t-r＞0，
所以2•3s•4t-s是偶数，3r•4t-r+3t是奇数，而偶数与奇数不可能相等，
因此数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．